양자컴퓨팅에서 순수 상태와 혼합 상태는 측정 결과가 비슷해 보일 때도 있지만 같은 상태가 아닙니다. 순수 상태에는 중첩의 진폭과 위상 정보가 남아 있고, 혼합 상태는 여러 가능한 상태에 대한 확률적 불확실성까지 포함하는데요. 원리에 대해 알아보시죠.
양자컴퓨팅에서 순수 상태와 혼합 상태를 구분하는 이유
양자컴퓨팅을 처음 공부하면 |0⟩, |1⟩과 같은 상태에서 시작해 α|0⟩ + β|1⟩ 형태의 중첩 상태를 배우게 됩니다. 이 단계에서 다루는 양자상태는 대부분 하나의 상태벡터로 표현할 수 있는 순수 상태입니다.
하지만 실제 양자컴퓨터에서는 상황이 조금 더 복잡합니다. 큐비트가 주변 환경과 상호작용할 수 있고, 노이즈로 인해 위상정보가 줄어들 수도 있으며, 전체 양자시스템 가운데 일부 큐비트만 관찰하는 상황도 생깁니다.
이러한 상태를 제대로 표현하려면 순수 상태뿐 아니라 혼합 상태라는 개념이 필요합니다. 순수 상태는 하나의 ket |ψ⟩로 완전히 기술할 수 있지만 일반적인 혼합 상태는 하나의 상태벡터만으로 표현할 수 없어 밀도행렬을 사용합니다.
| 구분 | 순수 상태 | 혼합 상태 |
|---|---|---|
| 기본 의미 | 하나의 상태벡터로 완전히 표현되는 상태 | 여러 가능한 상태에 대한 확률적 구조를 포함하는 상태 |
| 상태벡터 | |ψ⟩로 표현 가능 | 일반적으로 하나의 |ψ⟩로 표현할 수 없음 |
| 밀도행렬 | ρ = |ψ⟩⟨ψ| | ρ = Σ pᵢ|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| |
| Purity | Tr(ρ²) = 1 | Tr(ρ²) < 1 |
| 블로흐 구 | 표면에 위치 | 구 내부에 위치 |
| 대표적인 상황 | 이상적인 양자상태와 회로 | 노이즈·디코히런스·부분시스템 |
둘의 차이를 제대로 이해하면 밀도행렬, 디코히런스, 양자채널과 노이즈 시뮬레이션을 공부하기가 훨씬 쉬워집니다. 실제 양자컴퓨터를 이해하기 위해서는 순수 상태보다 더 일반적인 혼합 상태의 표현이 필요하기 때문입니다.
순수 상태란 무엇일까
순수 상태는 양자시스템의 상태가 하나의 상태벡터 |ψ⟩로 완전히 표현되는 경우입니다. 한 큐비트의 일반적인 순수 상태는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ |α|² + |β|² = 1
α와 β는 일반적으로 복소수인 확률진폭입니다. 계산 기저에서 측정했을 때 0이 나올 확률은 |α|², 1이 나올 확률은 |β|²입니다.
여기서 중요한 것은 측정 결과가 확률적으로 나온다고 해서 그 상태가 혼합 상태인 것은 아니라는 점입니다. 양자역학의 순수 상태에서도 측정 결과는 확률적으로 나타날 수 있습니다.
대표적인 예가 |+⟩ 상태입니다.
|+⟩ = 1/√2 (|0⟩ + |1⟩)
|+⟩를 계산 기저에서 측정하면 0과 1이 각각 50%의 확률로 나타납니다. 하지만 측정 전부터 큐비트가 0 또는 1 가운데 하나로 정해져 있었는데 우리가 몰랐던 것은 아닙니다. |+⟩ 자체가 하나의 명확한 순수한 양자상태입니다.
혼합 상태란 무엇일까
혼합 상태는 하나의 상태벡터만으로 전체 상태를 설명할 수 없는 경우입니다. 가장 단순한 예로 어떤 장치가 |0⟩ 상태를 50% 확률로 준비하고 |1⟩ 상태를 50% 확률로 준비한다고 생각해 볼 수 있습니다.
50% 확률 → |0⟩ 50% 확률 → |1⟩
각각의 실행에서는 큐비트가 |0⟩ 또는 |1⟩이라는 순수 상태일 수 있지만, 어떤 상태가 준비됐는지를 모르는 전체 상황은 하나의 ket으로 표현할 수 없습니다.
이럴 때 사용하는 것이 밀도행렬입니다. 여러 순수 상태 |ψᵢ⟩가 각각 pᵢ의 확률로 준비되는 경우 밀도행렬은 다음과 같이 표현됩니다.
ρ = Σ pᵢ |ψᵢ⟩⟨ψᵢ|
따라서 혼합 상태는 단순히 두 ket을 더해서 만드는 중첩 상태와는 다른 개념입니다. 확률진폭을 더하는 것과 여러 상태에 고전적인 확률을 부여하는 것은 서로 다른 수학적 구조를 가집니다.
가장 중요한 예제, |+⟩와 50:50 혼합은 왜 다를까
순수 상태와 혼합 상태의 차이를 이해할 때 가장 좋은 예가 |+⟩ 상태와 |0⟩·|1⟩의 50:50 혼합입니다.
먼저 순수 상태 |+⟩를 생각해 보겠습니다.
|+⟩ = 1/√2 (|0⟩ + |1⟩)
계산 기저에서 측정하면 결과는 다음과 같습니다.
P(0) = 1/2 P(1) = 1/2
이번에는 |0⟩ 또는 |1⟩을 각각 50% 확률로 준비하는 혼합 상태를 생각해 보겠습니다. 이것 역시 계산 기저에서 측정하면 0과 1이 각각 50%의 확률로 나옵니다.
따라서 Z기저 측정 결과만 보면 두 상태는 완전히 똑같아 보입니다.
| 상태 | 0 측정 확률 | 1 측정 확률 |
|---|---|---|
| |+⟩ 순수 상태 | 50% | 50% |
| |0⟩·|1⟩ 50:50 혼합 | 50% | 50% |
하지만 이것만 보고 두 상태가 같다고 결론 내리면 안 됩니다. 다른 기저에서 측정하면 차이가 드러납니다.
X기저에서 측정하면 차이가 바로 드러난다
|+⟩ 상태는 X기저의 기저 상태 가운데 하나입니다. 따라서 |+⟩를 X기저에서 측정하면 항상 + 결과가 나옵니다.
순수 상태 |+⟩ X기저 측정 P(+) = 1 P(−) = 0
반면 |0⟩와 |1⟩을 50%씩 섞은 완전 혼합 상태를 X기저에서 측정하면 +와 −가 다시 각각 50% 확률로 나타납니다.
50:50 혼합 상태 X기저 측정 P(+) = 1/2 P(−) = 1/2
이 차이가 나타나는 이유는 |+⟩ 상태에는 |0⟩과 |1⟩ 사이의 양자적인 위상 관계가 존재하지만 단순한 확률적 혼합에는 그 위상정보가 없기 때문입니다.
밀도행렬을 보면 두 상태의 차이가 더 명확해진다
순수 상태와 혼합 상태의 차이는 밀도행렬로 표현하면 한눈에 확인할 수 있습니다.
|+⟩ 상태의 밀도행렬은 다음과 같습니다.
ρ₊ = |+⟩⟨+|
[ 1/2 1/2 ]
ρ₊ = [ ]
[ 1/2 1/2 ]
반면 |0⟩과 |1⟩을 각각 50% 확률로 준비한 혼합 상태는 다음과 같습니다.
ρmix =
1/2 |0⟩⟨0| + 1/2 |1⟩⟨1|
[ 1/2 0 ]
ρmix = [ ]
[ 0 1/2 ]
두 행렬의 대각 성분은 같습니다. 그래서 계산 기저에서 측정하면 같은 확률분포가 나옵니다.
하지만 |+⟩의 밀도행렬에는 비대각 성분 1/2이 존재하고 혼합 상태에서는 비대각 성분이 0입니다. 이 비대각 성분은 서로 다른 기저 상태 사이의 coherence, 즉 양자적인 위상 관계와 연결됩니다.
밀도행렬은 순수 상태도 표현할 수 있다
밀도행렬은 혼합 상태만을 위한 표현법이 아닙니다. 순수 상태 역시 밀도행렬로 표현할 수 있습니다.
ρ = |ψ⟩⟨ψ|
따라서 상태벡터와 밀도행렬의 관계를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
| 상태 표현 | 순수 상태 | 혼합 상태 |
|---|---|---|
| ket |ψ⟩ | 가능 | 일반적으로 불가능 |
| 밀도행렬 ρ | 가능 | 가능 |
밀도행렬은 순수 상태를 포함하면서 혼합 상태까지 표현할 수 있기 때문에 상태벡터보다 더 일반적인 양자상태 표현 방식입니다.
밀도행렬이 만족해야 하는 기본 조건
아무 행렬이나 양자상태의 밀도행렬이 될 수 있는 것은 아닙니다. 정상적인 양자상태를 나타내는 밀도행렬은 몇 가지 기본적인 성질을 만족해야 합니다.
- ρ는 에르미트 행렬이어야 한다.
- ρ의 trace는 1이어야 한다.
- ρ는 양의 준정부호 행렬이어야 한다.
- 밀도행렬의 고윳값은 음수가 될 수 없다.
- 고윳값의 합은 1이 된다.
이 조건들은 측정 결과가 정상적인 확률로 해석될 수 있도록 해줍니다. 특히 Tr(ρ) = 1이라는 조건은 전체 확률이 1이라는 사실과 연결됩니다.
Purity를 계산하면 순수 상태인지 확인할 수 있다
밀도행렬이 주어졌을 때 순수 상태와 혼합 상태를 구분하는 대표적인 방법 가운데 하나가 purity입니다.
Purity = Tr(ρ²)
순수 상태에서는 다음 관계가 성립합니다.
Tr(ρ²) = 1
혼합 상태에서는 일반적으로 다음과 같습니다.
Tr(ρ²) < 1
한 큐비트의 완전 혼합 상태 ρ = I/2에서는 purity가 1/2이 됩니다. 큐비트 혼합 상태 가운데 가장 낮은 값입니다.
| 상태 | Purity | 판단 |
|---|---|---|
| |0⟩ | 1 | 순수 상태 |
| |+⟩ | 1 | 순수 상태 |
| 완전 혼합 상태 I/2 | 1/2 | 혼합 상태 |
| 일반적인 한 큐비트 혼합 상태 | 1/2 이상 1 미만 | 혼합 상태 |
블로흐 구에서 보면 차이가 더 직관적이다
한 큐비트의 상태를 시각적으로 이해할 때는 블로흐 구를 사용할 수 있습니다. 블로흐 구에서는 순수 상태와 혼합 상태의 차이가 공간적인 위치로 나타납니다.
순수 상태는 블로흐 구의 표면에 위치합니다. |0⟩, |1⟩, |+⟩와 |−⟩ 모두 구의 표면에 있는 서로 다른 점으로 표현됩니다.
혼합 상태는 블로흐 구의 내부에 위치합니다. 순수성이 낮아질수록 중심에 가까워지고, 완전 혼합 상태 I/2는 정확히 블로흐 구의 중심에 위치합니다.
| 블로흐 구 위치 | 상태 |
|---|---|
| 구 표면 | 순수 상태 |
| 구 내부 | 혼합 상태 |
| 구 중심 | 완전 혼합 상태 I/2 |
이 표현을 이용하면 노이즈나 디코히런스로 인해 순수한 상태가 점차 혼합 상태로 변하는 과정도 블로흐 벡터가 표면에서 내부 방향으로 짧아지는 모습으로 이해할 수 있습니다.
혼합 상태가 항상 단순한 정보 부족을 뜻하는 것은 아니다
혼합 상태를 처음 배울 때는 어떤 순수 상태가 준비됐는지 우리가 모르는 상황이라고 이해하면 편리합니다. 하지만 양자컴퓨팅에서는 이것만으로 설명되지 않는 중요한 경우가 있습니다.
전체 시스템이 순수한 얽힘 상태인데 그중 일부 큐비트만 관찰하는 경우입니다. 대표적인 Bell 상태를 살펴보겠습니다.
|Φ+⟩ = 1/√2 (|00⟩ + |11⟩)
두 큐비트를 하나의 전체 시스템으로 보면 이 상태는 하나의 ket으로 표현되는 순수 상태입니다.
하지만 첫 번째 큐비트만 따로 살펴보기 위해 두 번째 큐비트의 정보를 제거하면 첫 번째 큐비트의 상태는 다음과 같은 완전 혼합 상태가 됩니다.
ρ₁ = I/2
즉 전체 상태는 순수한데 그 일부만 보면 혼합 상태가 될 수 있습니다. 이 때문에 혼합 상태를 단순히 우리가 무엇인지 모르는 상태라고만 정의하면 양자 얽힘과 부분시스템을 충분히 설명하기 어렵습니다.
부분 추적은 왜 필요한가
여러 큐비트 가운데 일부 큐비트만의 상태를 얻고 싶을 때 사용하는 수학적 연산이 부분 추적, partial trace입니다.
두 시스템 A와 B의 전체 밀도행렬이 ρAB라고 할 때 A만의 상태는 B에 대해 부분 추적을 수행해 구할 수 있습니다.
ρA = TrB(ρAB)
이 연산은 다중 큐비트 시스템과 얽힘을 분석할 때 매우 중요합니다. 실제 양자컴퓨터에서는 관심 있는 몇 개의 큐비트만 따로 분석해야 하는 경우가 많기 때문입니다.
노이즈가 있으면 상태벡터만으로 부족할 수 있다
이상적인 닫힌 양자회로에서 큐비트는 유니터리 게이트를 따라 순수 상태로 변화할 수 있습니다. 하지만 실제 하드웨어는 외부 환경으로부터 완전히 고립되어 있지 않습니다.
에너지 이완, 위상 감쇠와 같은 노이즈가 발생하면 하나의 상태벡터만으로 시스템을 설명하기 어려워질 수 있습니다. 이때는 밀도행렬과 양자채널이라는 보다 일반적인 표현이 필요합니다.
| 상황 | 상태 표현 |
|---|---|
| 이상적인 순수 상태 | 상태벡터 또는 밀도행렬 |
| 확률적으로 적용되는 오류 | 밀도행렬 |
| 디코히런스 | 밀도행렬과 양자채널 |
| 얽힌 시스템의 일부 | 축소 밀도행렬 |
| 실제 noisy circuit 시뮬레이션 | Density matrix 또는 관련 noise simulation |
그래서 실제 양자컴퓨터의 노이즈를 공부하기 시작하면 상태벡터 중심의 입문 과정에서 밀도행렬 중심의 표현으로 자연스럽게 확장됩니다.
디코히런스는 순수 상태를 혼합 상태로 만들 수 있다
양자컴퓨팅에서 순수 상태와 혼합 상태를 공부하는 중요한 이유 가운데 하나가 디코히런스입니다.
예를 들어 |+⟩ 상태는 |0⟩과 |1⟩ 사이에 정확한 위상관계를 가지고 있습니다. 하지만 환경과의 상호작용으로 이 관계가 점차 사라지면 밀도행렬의 비대각 성분이 감소할 수 있습니다.
처음 상태
[ 1/2 1/2 ]
[ 1/2 1/2 ]
↓ 디코히런스
[ 1/2 0 ]
[ 0 1/2 ]
아래쪽 상태에서는 계산 기저의 확률은 여전히 50:50이지만 처음에 존재했던 coherence가 사라졌습니다. 이것이 순수한 중첩과 혼합 상태를 구분해야 하는 중요한 이유입니다.
순수 상태와 혼합 상태는 측정 횟수만으로 구분할 수 있을까
한 가지 측정기저에서 결과를 여러 번 확인하는 것만으로는 두 상태를 구분하지 못할 수 있습니다.
|+⟩ 상태와 완전 혼합 상태를 모두 Z기저에서 측정하면 0과 1이 각각 절반 정도 나타납니다. 따라서 다른 측정기저를 사용해야 상태의 추가적인 정보를 얻을 수 있습니다.
실험적으로 알려지지 않은 양자상태를 여러 기저에서 반복 측정해 상태를 추정하는 과정을 양자 상태 토모그래피라고 합니다. 이를 통해 밀도행렬을 추정하고 상태의 순수성과 coherence 등을 분석할 수 있습니다.
순수 상태와 혼합 상태를 헷갈리지 않는 방법
| 헷갈리기 쉬운 생각 | 실제 개념 |
|---|---|
| 측정 결과가 확률적이면 혼합 상태다 | 순수 상태도 측정 결과는 확률적일 수 있다 |
| |+⟩는 |0⟩와 |1⟩이 반씩 섞인 상태다 | |+⟩는 두 기저 상태의 coherent superposition이다 |
| 혼합 상태는 항상 노이즈 때문에 생긴다 | 확률적 준비나 부분시스템에서도 나타날 수 있다 |
| 혼합 상태는 하나의 ket으로 쓸 수 있다 | 일반적으로 밀도행렬이 필요하다 |
| 전체 시스템이 순수하면 모든 부분도 순수하다 | 얽힌 순수 상태의 부분시스템은 혼합될 수 있다 |
양자컴퓨팅에서는 어디까지 이해하면 충분할까
처음부터 밀도행렬의 모든 수학적 성질을 증명할 필요는 없습니다. 양자컴퓨팅 입문자라면 순수 상태와 혼합 상태의 차이를 다음 순서대로 이해하면 좋습니다.
- |ψ⟩가 순수 상태를 나타내는 상태벡터라는 점을 이해한다.
- 순수 상태도 측정하면 확률적인 결과가 나온다는 점을 이해한다.
- 중첩과 확률적인 혼합이 다르다는 점을 구분한다.
- 순수 상태를 ρ = |ψ⟩⟨ψ| 형태의 밀도행렬로 바꿀 수 있다.
- 혼합 상태를 Σ pᵢ|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| 형태로 이해한다.
- 밀도행렬의 대각·비대각 성분의 기본 의미를 이해한다.
- Tr(ρ²)로 상태의 purity를 판단할 수 있다는 점을 알아둔다.
- 노이즈와 부분시스템에서 혼합 상태가 왜 필요한지 이해한다.
이 정도를 이해하면 이후 양자채널, 노이즈 모델, 양자 오류와 양자정보이론을 공부하는 데 필요한 기초를 갖출 수 있습니다.
순수 상태와 혼합 상태 이해 점검 체크리스트
- 순수 상태를 하나의 ket |ψ⟩로 표현할 수 있다는 점을 이해했는가
- 혼합 상태가 단순한 중첩과 다르다는 점을 설명할 수 있는가
- |+⟩와 |0⟩·|1⟩ 50:50 혼합의 차이를 설명할 수 있는가
- 두 상태가 Z기저에서는 같은 결과를 낼 수 있다는 점을 이해했는가
- 다른 기저에서 측정하면 두 상태를 구분할 수 있음을 알고 있는가
- ρ = |ψ⟩⟨ψ|가 순수 상태의 밀도행렬이라는 점을 이해했는가
- Tr(ρ²) = 1이면 순수 상태라는 점을 알고 있는가
- 혼합 상태가 블로흐 구 내부에 위치한다는 점을 이해했는가
- 전체 순수 상태의 부분시스템이 혼합 상태가 될 수 있음을 알고 있는가
- 노이즈를 다룰 때 밀도행렬이 필요한 이유를 설명할 수 있는가
핵심 용어와 마무리 정리
| 용어 | 의미 |
|---|---|
| 순수 상태 | 하나의 상태벡터 |ψ⟩로 완전히 표현할 수 있는 양자상태 |
| 혼합 상태 | 하나의 상태벡터만으로 표현할 수 없는 일반적인 양자상태 |
| 밀도행렬 | 순수 상태와 혼합 상태를 모두 표현할 수 있는 행렬 |
| Coherence | 서로 다른 기저 상태 사이에 존재하는 양자적인 위상 관계 |
| Purity | 밀도행렬이 얼마나 순수한지를 나타내는 Tr(ρ²) |
| 완전 혼합 상태 | 가능한 상태에 대해 최대의 불확실성을 갖는 상태 |
| 부분 추적 | 복합 시스템에서 일부 시스템의 축소 밀도행렬을 구하는 연산 |
| 디코히런스 | 환경과의 상호작용 등으로 양자적인 coherence가 감소하는 현상 |
| 양자채널 | 밀도행렬을 다른 밀도행렬로 변환하는 일반적인 양자상태 변화 |
순수 상태와 혼합 상태의 가장 중요한 차이는 측정 결과가 확률적인지 여부가 아닙니다. 순수 상태 역시 측정하면 확률적인 결과를 얻을 수 있습니다.
핵심은 하나의 상태벡터가 시스템의 양자상태를 완전히 표현할 수 있는지입니다. 순수 상태는 |ψ⟩ 하나로 표현할 수 있지만 혼합 상태는 여러 가능한 상태와 그 확률을 포함하기 때문에 밀도행렬이 필요합니다.
|+⟩와 |0⟩·|1⟩을 50%씩 섞은 상태의 차이는 이를 가장 잘 보여줍니다. 두 상태는 계산 기저에서 똑같은 50:50 결과를 만들지만 |+⟩에는 상태 사이의 coherence가 남아 있고 혼합 상태에는 존재하지 않습니다.
결국 밀도행렬을 배우는 이유는 수식을 하나 더 외우기 위해서가 아닙니다. 이상적인 양자회로를 넘어 노이즈, 디코히런스, 얽힌 시스템의 일부와 실제 양자컴퓨터의 상태를 표현하기 위해 필요한 더 일반적인 언어이기 때문입니다.
참고문헌
순수 상태와 혼합 상태, 밀도행렬과 노이즈 시뮬레이션을 더 깊게 공부하려면 아래 공식 교육자료와 개발문서를 참고할 수 있습니다.